17 - Regulación Automática

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Imagínate que tienes un sistema de control de posición (espacio), en la cual hay movimientos muy rápidos (velocidad, tiempo). La fórmula que relaciona esas variables es $v=\frac{de}{dt}$. Ésta es una ecuación diferencial. Los sistemas de control se modelizan con ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales son difíciles de operar, pero son más fáciles si se pasan al plano de frecuencia angular compleja mediante transformada de Laplace. Así, las funciones de tiempo pasan a ser funciones de la variable “s”:

$$f(t) → F(s)$$

Las transformadas, y sus inversas las antitransformadas, se hacen normalmente mediante tabla. Aquí tienes las más típicas:

Función impulso: $F(s)=1$

Función escalón: $F(s)=1/s$ (el numerador representa el valor)

Función rampa: $F(s)=1/s^2$ (el numerador representa la pendiente)

Función parábola: $F(s)=1/s^3$

Sistemas de primer orden

Son sistemas de primer orden aquellos que:

$$G(s)=\frac{k}{1+\tau s}$$

$$y(t)=k·(1-e^{(-t/\tau)})$$

Este tipo de sistemas, al alcanzar un tiempo $\tau$ la salida y = 63% de “k”. Al alcanzar $5·\tau$, la salida será igual a “k”.

Definiciones:

 Ejemplo primer orden: condensador en carga exponencial (RC)

Simula un circuito RC (R=1k, C=100nF) en Multisim. No funcionará como filtro ya que se le aplicará una señal continua. La entrada e(t)=10V (entrada tipo escalón) E(s)=10/s

 Ejemplo primer orden: tanque de agua

La diferencia entre el caudal de entrada y de salida implica una variación de altura en función del área del tanque:

$$(q_e - q_s)=A· \frac{dh}{dt}$$

Si consideramos que el caudal se salida depende de la altura y de la obstrucción R: $q_s=h/R$

$$q_e·R=A·R· \frac{dh}{dt} +h$$

Haciendo Laplace:

$$R·q_e(s)=R·A·s·h(s)$$

Despejamos salida (altura) entre entrada (caudal entrada) para obtener la función de transferencia:

$$G(s)=\frac{h(s)}{q_e(s)}=\frac{R}{1+R·A(s)}$$

Calcula la constante de tiempo $\tau$

Sistemas de segundo orden

Un sistema es de segundo orden si:

$$G(s)=\frac{k\omega_n^2}{s^2+2·\xi \omega_n·s+ \omega_n^2}$$

polos son las raices de la “s” del denominador

Típica función de transferencia de segundo orden:

$$G(s)=\frac{k\omega_n^2}{s^2+2·\xi \omega_n·s+ \omega_n^2}$$

Parámetros:

Donde dije frecuencia… digo pulsación angular: $\omega = 2· \pi · f$

Sistemas sobreamortiguados

$\xi<1$, son estables y su salida nunca llega a exceder el valor de consigna, pero esto es a costa de ser lentos.

Los polos no tienen parte imaginaria, sólo parte real negativa, y son diferentes entre sí.

Ejemplo: Calcula y dibuja los polos del sistema sobreamortiguado definido por la función:

$$G(s)=\frac{4k}{s^2+5s+4}$$

Sistemas críticamente amortiguados

$\xi=1$, su respuesta es similar a los sobreamortiguados, pero la respuesta es la más rápida posible sin exceder el valor de la consigna.

Polo doble con parte real negativa en el mismo punto.

Ejemplo: Calcula y dibuja los polos del sistema críticamente amortiguado definido por la función:

$$G(s)=\frac{4k}{s^2+4s+4}$$

Sistemas subamortiguados

$0<\xi<1$, respuesta supera el valor final son un sobrepaso que va disminuyendo en sucesivas oscilaciones hasta alcanzar el régimen permanente.

Pareja de polos complejos conjugados (simétricos) con parte real negativa.

A menor amortiguamiento, sobrepaso mayor.

Ejemplo: Calcula y dibuja los polos del sistema subamortiguado definido por la función:

$$G(s)=\frac{4k}{s^2+2,4s+4}$$

Parámetros de sistemas subamortiguados:

Sistemas críticamente estables u oscilantes

$\xi=0$ respuesta senoidal perfecta, pero no alcanza nunca el valor final.

Polos justamente con parte real cero.

Sistemas intestables

$\xi<0$ respuesta en saturación positiva o negativa.

Polos en parte positiva del eje real.

Sistemas de orden superior

Su respuesta puede ser mucho más variada y compleja que en los de primer y segundo orden, pero en ellos suele haber polos dominantes que hacen que su estudio se pueda reducir al de sistemas de 2º orden obviando los matices de los otros polos.

Fuentes


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