2. Matemáticas con decibelios

Volver ao curso


Contidos:


Este tema trata de exercicios con decibelios, que son as unidades que se utilizan en telecomunicacións e radiocomunicacións para medir potencias, voltaxes e ganancias en lugar de watios, voltios e ganancias unitarias.

Comecemos por ver en que se utilizan os decibelios:

En radiocomunicacións, a maior parte do traballo consiste en seguir o camiño polo que circula un sinal eléctrico, case sempre de ou ata unha antena (recepción/transmisión) e ver como vai evolucionando o sinal usando unidades en decibelios.


Función de transferencia dun sistema (en forma unitaria)

A corrente eléctrica flúe no sentido no que apunta o triángulo, que é o símbolo do amplificador. Neste caso ten ganancia 2, polo cal a potencia de saída será dúas veces a de entrada. No primeiro exemplo inxectamos un sinal de 4W de potencia e no segundo 5,5W. Observa como as saídas aumentan o nivel de entrada segundo a ganancia de amplificación:

$$ P_{out}=G\cdot P_{in} \Longleftrightarrow{} G= \frac{P_{out}}{P_{in}}$$


Exercicios para os ciclos (NON ENTREGAR)

  1. O oscilograma da figura representa dúas sinais senoidais. A escala vertical son 5V/div. Calcula:
  2. Sabendo que a tensión (voltaxe) de pico do sinal laranxa son 2V, do verde 4V e do morado 6V, calcula:
  3. Convirte a decibelios $G(dB)$ as ganancias unitarias en voltaxe $G_{V}$ dos exercicios anteriores sabendo que:
$$G(dB)=20\cdot log{(G_{V})} $$


Función de transferencia dun sistema (en decibelios)

A principal vantaxe dos decibelios é que nos permite deixar de operar con multiplicacións e divisións para pasar a traballar con sumas e restas (máis fácil).

Así:

$$ P_{out}(dBW) = G(dB) +Pin(dBW) \Longleftrightarrow{} G(dB) = P_{out}(dBW) - P_{in}(dBW)$$

Como hai cambios respecto o apartado anterior. O signo de multiplicación cambia polo de suma e o de división polo de resta.

En principio non parece que aporte moito, pero se complicamos os circuítos, os cálculos se volven moito máis rápidos.

$$ P_{out}= 3,16\cdot\frac{2\cdot4\cdot3,16}{2,51}=31,6W$$ $$ P_{out}(dBW)=5dBW + 3dB + 6dB-4dB + 5dB = 15dBW $$

O resultado é o mesmo. Comprobamos que $10\cdot \log {31,6W} = 16dBW$


Conversións entre sistema internacional e dB

Táboa de conversións:

de sistema internacional a dB de dB a sistema internacional
Ganancias Ganancia en potencia
(unitaria e en dB)
$$G(dB)=10\cdot \log{G_{P}}=20\cdot\log{G_{V}}$$ $$G_{P}=10^{\frac{G(dB)}{10}}=\frac{P_{out}}{P_{in}}$$
Ganancia en voltaxe
(unitaria e en dB)
$$G_{V}=10^{\frac{G(dB)}{20}}=\frac{V_{out}}{V_{in}}$$
Magnitudes físicas Voltaxe $$V(dBV) = 20\cdot\log{V(V)}$$ $$V(V) =10^{\frac{V(dBV)}{20}}$$
$$V(dBµV) = 20\cdot\log{V(µV)}$$ $$V(µV) =10^{\frac{V(dBµV)}{20}}$$
Potencia $$P(dBW) = 10\cdot\log{P(W)}$$ $$P(W) =10^{\frac{P(dBW)}{10}}$$
$$V(dBm) = 10\cdot\log{P(mW)}$$ $$P(mW) =10^{\frac{P(dBm)}{10}}$$

Na columna da esquerda, o número 10 que multiplica ó logaritmo é debido a que as unidades son “decibelios” (décima parte do belio). “Belio” é en horno a Alexander Graham Bell. Ás veces non é 10 senón 20 ($20=10\cdot2$). Iso é debido á Lei de Watt:

$$P=V\cdot I=\frac{V^2}{Z}=I^2\cdot Z$$

Estes expoñentes “ó cadrado” saen da operación logaritmo multiplicando. É un proceso un pouco complexo, pero non é necesario entendelo:

$$G(dB)=10\cdot\log\frac{P_{out}}{P_{in}}= 10\cdot\log\frac{\frac{V^2_{out}}{Z}}{\frac{V^2_{in}}{Z}}=10\cdot\log\frac{V^2_{out}}{V^2_{in}}= 10\cdot\log(\frac{V_{out}}{V_{in}})^2=10\cdot2\cdot\log\frac{V_{out}}{V_{in}}=20\cdot\log\frac{V_{out}}{V_{in}}$$


Exercicios para os ciclos (NON ENTREGAR)

  1. Por que no exercicio “3” do apartado anterior se che pediu usar a fórmula $"20\cdot \log"$ en lugar de $"10\cdot \log"$
  2. Converte:

    Detectas algo interesante nos números resultantes?

Equivalencias e casos especiais

Ganancia unitaria e
magnitudes en sistema internacional
Operacións en decibelios
Amplificación Multiplicar (X) Sumar (+)
Atenuación Dividir (÷) Restar (-)

Comprobacións para a equivalencia $"\cdot 2 ≈ +3dB"$:

$G=2;\, G(dB)=10\cdot\log{2}=+3dB$ $G=\frac{1}{2}=0,5;\, G(dB)=10\cdot\log{\frac{1}{2}}=-3dB$
$G=4;\, G(dB)=10\cdot\log{4}=+6dB$ $G=\frac{1}{4}=0,25;\, G(dB)=10\cdot\log{\frac{1}{4}}=-6dB$
$G=8;\, G(dB)=10\cdot\log{8}=+9dB$ $G=\frac{1}{8}=0,125;\, G(dB)=10\cdot\log{\frac{1}{8}}=-9dB$

Comprobacións para a equivalencia $"\cdot 10 = +10dB"$:

$G=10;\, G(dB)=10\cdot\log{10}=+10dB$ $G=\frac{1}{10}=0,1;\, G(dB)=10\cdot\log{\frac{1}{10}}=-10dB$
$G=100;\, G(dB)=10\cdot\log{100}=+20dB$ $G=\frac{1}{100}=0,01;\, G(dB)=10\cdot\log{\frac{1}{100}}=-20dB$
$G=1000;\, G(dB)=10\cdot\log{1000}=+30dB$ $G=\frac{1}{8}=0,001;\, G(dB)=10\cdot\log{\frac{1}{1000}}=-30dB$

Se analizamos os datos anteriores, veremos que unha ganancia que amplifica sempre vai ser maior de 1 en unitaria e maior de 0 en decibelios. Polo contrario, unha atenuación valerá entre 0 e 1 en unitaria e un valor negativo en dB:

Atenuación e valores en voltios/watios
menores que a unidade de referencia
Amplificación e valores en voltios/watios
maiores da unidade que a referencia
Ganancia unitaria e
operacións en sistema internacional
De 0 a 1 De 1 a ∞
Operacións en decibelios Valores negativos Valores positivos

Tamén se demostra que:

Máis equivalencias

Nos módulos de ciclo superior, se poden usar outros trucos para pasar entre distintas unidades. Por exemplo:

$$P(dBm)=P(dBW)+30dB$$ $$V(dBµV)=P(dBV)+120dB$$

O anterior é lóxico se pensamos que para pasar de W a mW hai que multiplicar por 1000 (+30dB). No caso dos voltios, multiplicamos por 1000000 (+120dB, por estar en voltios)

Cando estamos no sistema internacional podemos pasar de voltios a watios usando a Lei de Watt $"P=V^{2}/Z"$. A equivalencia en decibelios é a seguinte:

$$P(dBm)=V(dBµV)-90dB-10\cdot\log{Z(Ω)}$$

Isto é moi útil en ICT, xa que ahí se traballa fundamentalmente en dBµV pero o ruído térmico se calcula inicialmente en W.

Razóns para usar decibelios

Resumindo:

Exercicios para os ciclos (NON ENTREGAR)

  1. Temos dúas antenas diferentes. A antena “a” amplifica 10dB e a antena “b” amplifica 13dB. Sinala a resposta correcta e xustifica:
  2. Que significa que unha ganancia en dB sexa negativa? Que valores de rango toma unha ganancia que é negativa en dB cando se pasa a ganancia unitaria (en potencia)?
  3. Temos un amplificador de 6dB cunha potencia de entrada de 2W. Calcula a potencia de saída. (podes convertir a ganancia de 6dB a unitaria o ben convertir a potencia de entrada a dBW)
  4. Calcula a ganancia en decibelios ou ben a ganancia unitaria en potencia (usa calculadora):
    G(dB) G(W/W)
    (unitaria)
    G(dB) G(W/W)
    (unitaria)
    3 dB 1
    100 0,5
    200 12 dB
    -17 dB -20 dB

    (repara que á ganancia unitaria ás veces se lle poñen as unidades en W/W e á unitaria en voltaxe en V/V)

  5. Calcula a ganacia unitaria en potencia (W/W, “10 log”). Usando os trucos das táboas anteriores:
  6. Temos un sistema de comunicación con tres etapas de amplificación en serie:

    Pídese:

Son interesantes tamén os problemas do final do tema 1 do libro “Televisión y Radio Analógica y Digital” de Televés.


Tarefa “2” para entregar

Realiza medicións de potencia/voltaxe nunha instalación coaxial. Deberás utilizar un medidor de campo (se o fas nunha instalación de radio/TV/SAT) ou ben un analizador de redes2 (se mides o cableado coaxial dunha Wi-Fi ou trunking). A opción máis sinxela é a primeira, xa que de seguro terás unha maqueta dunha ICT no teu centro:

Pasos para realizar a práctica:

Entrega un documento en formato PDF na páxina da tarefa con fotos e explicacións.

Axudas adicionais

Nas seguintes imaxes podes ver medidas de voltaxe en TDT (esquerda) e de potencia en Wi-Fi (centro e dereita):

Recomendo que fagas a medida de TDT se non tes coñecementos previos. Enlace a vídeo explicativo. No centro atoparás compañeiros que che orientarán cos equipos de ICT. As medicións Wi-Fi son unha opción máis avanzada que require material que probablemente non teñas.

Entrega en formato PDF na páxina da tarefa. Dúbidas no foro de consultas. Non esquezas facer o cuestionario deste tema.


Creado para G1701016 – “Radiocomunicacións prácticas” por Daniel Ríos Suárez

Licenciado baixo a Licenza Creative Commons Recoñecemento Compartir igual 4.0

Este curso virtual elaborouse para ser impartido no plan anual de formación do profesorado de FP da Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria, Xunta de Galicia

Quedan fora desta licenza os textos, imaxes, recursos... que manteñen a súa propia licenza, sinalada en cada caso.

Úsanse imaxes e recursos de producción propia, que se publican no Dominio público ou con licenza CC BY-SA, outras de dominio público, con licenza creative commons, GNU... tomados prefentemente de bancos de recursos educativos abertos. Tamén se empregan ---acolléndose ao "Dereito de cita" --- imaxes, e recursos diversos de diferentes páxinas web, e se enlaza a súa licenza ao pé dos propios recursos ou na páxina coa atribución da propiedade intelectual dos ODE empregados, dereitos reservados que manteñen integramente. Se detecta algunha imaxe, recurso... con dereitos reservados, agradecemos nos informe para retirala.


  1. Infraestruturas Comúns de Telecomunicacións para edificacións. Real Decreto 346/2011, de 11 de marzo. ↩︎
  2. O analizador escalar ou vectorial de redes é un instrumento de medida en radiocomunicacións. É similar ó analizador de espectro e ó medidor de campo. Se tes un portátil, pódelo usar para medir. Este Rigexpert é moi fácil de usar. Os analizadores de antena MFJ tamén teñen algunhas funcións. ↩︎